El Diccionario Explicativo de Ozhegov establece que un pentágono es una figura geométrica delimitada por cinco líneas rectas que se cruzan formando cinco ángulos internos, así como cualquier objeto de forma similar. Si un polígono dado tiene los mismos lados y ángulos, entonces se llama un (pentágono) regular.
¿Qué tiene de interesante un pentágono regular?
Así se construyó el conocido edificio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos. De los poliedros regulares voluminosos, solo el dodecaedro tiene caras en forma de pentágono. Y en la naturaleza, los cristales están completamente ausentes, cuyas caras se asemejarían a un pentágono regular. Además, esta figura es un polígono con un número mínimo de esquinas que no se puede utilizar para teselar un área. Solo un pentágono tiene el mismo número de diagonales que sus lados. ¡De acuerdo, es interesante!
Propiedades y fórmulas básicas
Uso de las fórmulas parapolígono regular arbitrario, puede determinar todos los parámetros necesarios que tiene el pentágono.
- Ángulo central α=360 / n=360/5=72°.
- Ángulo interno β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. En consecuencia, la suma de los ángulos interiores es 540°.
- La razón de la diagonal al lado es (1+√5) /2, es decir, la "sección áurea" (aproximadamente 1, 618).
- La longitud del lado que tiene un pentágono regular se puede calcular usando una de tres fórmulas, dependiendo de qué parámetro ya se conoce:
- si un círculo se circunscribe a él y se conoce su radio R, entonces a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- en el caso de que una circunferencia de radio r esté inscrita en un pentágono regular, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- Sucede que en vez de radios se conoce el valor de la diagonal D, entonces el lado se determina de la siguiente manera: a ≈ D/1, 618.
- El área de un pentágono regular se determina, nuevamente, según qué parámetro conozcamos:
- si hay un círculo inscrito o circunscrito, entonces se usa una de dos fórmulas:
S=(nar)/2=2, 5ar o S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776D2;
el área también se puede determinar conociendo solo la longitud del lado a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Pentágono regular: construcción
Esta figura geométrica se puede construir de diferentes maneras. Por ejemplo, inscríbalo en un círculo con un radio dado, o construya sobre la base de un lado lateral dado. La secuencia de acciones se describió en los Elementos de Euclides alrededor del 300 a. En cualquier caso, necesitamos un compás y una regla. Considere el método de construcción usando un círculo dado.
1. Seleccione un radio arbitrario y dibuje un círculo, marcando su centro con una O.
2. En la línea del círculo, seleccione un punto que servirá como uno de los vértices de nuestro pentágono. Sea este el punto A. Conecte los puntos O y A con una línea recta.
3. Dibuja una línea a través del punto O perpendicular a la línea OA. Designe la intersección de esta línea con la línea del círculo como el punto B.
4. En el medio de la distancia entre los puntos O y B, construya el punto C.
5. Ahora dibuja un círculo cuyo centro estará en el punto C y que pasará por el punto A. El lugar de su intersección con la línea OB (estará dentro del primer círculo) será el punto D.
6. Construya un círculo que pase por D, cuyo centro estará en A. Los lugares de su intersección con el círculo original deben marcarse con los puntos E y F.
7. Ahora construya un círculo, cuyo centro estará en E. Debe hacer esto para que pase por A. Su otra intersección con el círculo original debe indicarse con el punto G.
8. Finalmente, dibuje un círculo a través de A con centro en el punto F. Marque otra intersección del círculo original con el punto H.
9. ahora a la izquierdasolo conecta los vértices A, E, G, H, F. ¡Nuestro pentágono regular estará listo!
