Muy a menudo en la ciencia matemática hay una serie de dificultades y preguntas, y muchas de las respuestas no siempre son claras. No fue una excepción un tema como la cardinalidad de los conjuntos. De hecho, esto no es más que una expresión numérica del número de objetos. En un sentido general, un conjunto es un axioma, no tiene definición. Se basa en cualquier objeto, o más bien en su conjunto, que puede ser vacío, finito o infinito. Además, contiene números enteros o naturales, matrices, secuencias, segmentos y líneas.
Acerca de las variables existentes
Un conjunto nulo o vacío sin valor intrínseco se considera un elemento cardinal porque es un subconjunto. La colección de todos los subconjuntos de un conjunto no vacío S es un conjunto de conjuntos. Así, el conjunto potencia de un conjunto dado se considera muchos, concebibles, pero únicos. Este conjunto se denomina conjunto de potencias de S y se denota por P (S). Si S contiene N elementos, entonces P(S) contiene 2^n subconjuntos, ya que un subconjunto de P(S) es ∅ o un subconjunto que contiene r elementos de S, r=1, 2, 3, … Compuesto de todo infinitoEl conjunto M se denomina cantidad de potencia y se denota simbólicamente por P (M).
Elementos de la teoría de conjuntos
Este campo de conocimiento fue desarrollado por George Cantor (1845-1918). Hoy en día se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y sirve como su parte fundamental. En la teoría de conjuntos, los elementos se representan en forma de lista y vienen dados por tipos (conjunto vacío, singleton, conjuntos finitos e infinitos, iguales y equivalentes, universales), unión, intersección, diferencia y suma de números. En la vida cotidiana, a menudo hablamos de una colección de objetos, como un manojo de llaves, una bandada de pájaros, una baraja de cartas, etc. En matemáticas de grado 5 y posteriores, hay números naturales, enteros, primos y compuestos.
Se pueden considerar los siguientes conjuntos:
- números naturales;
- letras del alfabeto;
- cuotas primarias;
- triángulos de diferentes lados.
Puede verse que estos ejemplos especificados son conjuntos de objetos bien definidos. Considere algunos ejemplos más:
- cinco científicos más famosos del mundo;
- siete hermosas chicas en sociedad;
- tres mejores cirujanos.
Estos ejemplos de cardinalidad no son colecciones de objetos bien definidas, porque los criterios para "más famoso", "más bello" y "mejor" varían de persona a persona.
Conjuntos
Este valor es un número bien definido de objetos diferentes. Suponiendo que:
- wordset es un sinónimo, agregado, clase y contiene elementos;
- objetos, los miembros son términos iguales;
- los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas A, B, C;
- los elementos del conjunto se representan con letras minúsculas a, b, c.
Si "a" es un elemento del conjunto A, entonces se dice que "a" pertenece a A. Denotemos la frase "pertenece" con el carácter griego "∈" (épsilon). Por lo tanto, resulta que a ∈ A. Si 'b' es un elemento que no pertenece a A, esto se representa como b ∉ A. Algunos conjuntos importantes que se usan en matemáticas de quinto grado se representan usando los tres métodos siguientes:
- aplicaciones;
- registros o tabulares;
- regla para crear una formación.
En un examen más detallado, el formulario de solicitud se basa en lo siguiente. En este caso, se da una descripción clara de los elementos del conjunto. Todos ellos están encerrados entre llaves. Por ejemplo:
- conjunto de números impares menores que 7 - escrito como {menos de 7};
- un conjunto de números mayores que 30 y menores que 55;
- número de alumnos en una clase que pesan más que el profesor.
En el formulario de registro (tabla), los elementos de un conjunto se enumeran dentro de un par de corchetes {} y separados por comas. Por ejemplo:
- Sea N el conjunto de los cinco primeros números naturales. Por lo tanto, N=→ forma de registro
- Conjunto de todas las vocales del alfabeto inglés. Por lo tanto, V={a, e, i, o, u, y} → forma de registro
- El conjunto de todos los números impares es menor que 9. Por lo tanto, X={1, 3, 5, 7} → formaregistro
- Conjunto de todas las letras de la palabra "Math". Por lo tanto, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formulario de Registro
- W es el conjunto de los últimos cuatro meses del año. Por tanto, W={septiembre, octubre, noviembre, diciembre} → registro.
Tenga en cuenta que el orden en que se enumeran los elementos no importa, pero no deben repetirse. Una forma de construcción establecida, en un caso dado, una regla, fórmula u operador se escribe entre paréntesis para que el conjunto quede correctamente definido. En el formulario de creación de conjuntos, todos los elementos deben tener la misma propiedad para convertirse en miembros del valor en cuestión.
En esta forma de representación de conjuntos, un elemento del conjunto se describe con el carácter "x" o cualquier otra variable seguida de dos puntos (":" o "|" se usa para indicar). Por ejemplo, sea P el conjunto de números contables mayores que 12. P en la forma constructora de conjuntos se escribe como - {número contable mayor que 12}. Se leerá de cierta manera. Es decir, "P es un conjunto de x elementos tal que x es contable y mayor que 12".
Ejemplo resuelto usando tres métodos de representación de conjuntos: número de enteros entre -2 y 3. A continuación se muestran ejemplos de diferentes tipos de conjuntos:
- Un conjunto vacío o nulo que no contiene ningún elemento y se denota con el símbolo ∅ y se lee como phi. En forma de lista, ∅ se escribe {}. El conjunto finito está vacío, ya que el número de elementos es 0. Por ejemplo, el conjunto de valores enteros es menor que 0.
- Obviamente no debería haber <0. Por lo tanto, esteconjunto vacío.
- Un conjunto que contiene solo una variable se denomina conjunto singleton. no es ni simple ni compuesto.
Conjunto finito
Un conjunto que contiene un cierto número de elementos se llama conjunto finito o infinito. Vacío se refiere al primero. Por ejemplo, un conjunto de todos los colores del arcoíris.
Infinity es un conjunto. Los elementos que contiene no se pueden enumerar. Es decir, que contiene variables similares se llama conjunto infinito. Ejemplos:
- potencia del conjunto de todos los puntos del plano;
- conjunto de todos los números primos.
Pero debes entender que todas las cardinalidades de la unión de un conjunto no se pueden expresar en forma de lista. Por ejemplo, los números reales, ya que sus elementos no corresponden a ningún patrón en particular.
El número cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes en una cantidad dada A. Se denota n (A).
Por ejemplo:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Por lo tanto, n (A)=4.
- B=conjunto de letras en la palabra ÁLGEBRA.
Conjuntos equivalentes para comparación de conjuntos
Dos cardinalidades de un conjunto A y B son tales si su número cardinal es el mismo. El símbolo del conjunto equivalente es "↔". Por ejemplo: A ↔ B.
Conjuntos iguales: dos cardinalidades de los conjuntos A y B si contienen los mismos elementos. Cada coeficiente de A es una variable de B, y cada uno de B es el valor especificado de A. Por lo tanto, A=B. Los diferentes tipos de uniones de cardinalidad y sus definiciones se explican utilizando los ejemplos proporcionados.
Esencia de finitud e infinito
¿Cuáles son las diferencias entre la cardinalidad de un conjunto finito y un conjunto infinito?
El primer valor tiene el siguiente nombre si está vacío o tiene un número finito de elementos. En un conjunto finito, se puede especificar una variable si tiene un conteo limitado. Por ejemplo, usando el número natural 1, 2, 3. Y el proceso de listado termina en algún N. El número de elementos diferentes contados en el conjunto finito S se denota por n (S). También se le llama orden o cardenal. Denotado simbólicamente según el principio estándar. Por lo tanto, si el conjunto S es el alfabeto ruso, entonces contiene 33 elementos. También es importante recordar que un elemento no aparece más de una vez en un conjunto.
Infinito en el conjunto
Se dice que un conjunto es infinito si los elementos no se pueden enumerar. Si tiene un número natural ilimitado (es decir, incontable) 1, 2, 3, 4 para cualquier n. Un conjunto que no es finito se llama infinito. Ahora podemos discutir ejemplos de los valores numéricos bajo consideración. Opciones de valor final:
- Sea Q={números naturales menores que 25}. Entonces Q es un conjunto finito y n (P)=24.
- Sea R={enteros entre 5 y 45}. Entonces R es un conjunto finito y n (R)=38.
- Sea S={números módulo 9}. Entonces S={-9, 9} es un conjunto finito y n (S)=2.
- Conjunto de todas las personas.
- Número de todas las aves.
Ejemplos infinitos:
- número de puntos existentes en el plano;
- número de todos los puntos en el segmento de recta;
- el conjunto de los enteros positivos divisibles por 3 es infinito;
- todos los números naturales y enteros.
Por lo tanto, a partir del razonamiento anterior, es claro cómo distinguir entre conjuntos finitos e infinitos.
Poder del conjunto continuo
Si comparamos el conjunto y otros valores existentes, entonces se agrega una adición al conjunto. Si ξ es universal y A es un subconjunto de ξ, entonces el complemento de A es el número de todos los elementos de ξ que no son elementos de A. Simbólicamente, el complemento de A con respecto a ξ es A'. Por ejemplo, 2, 4, 5, 6 son los únicos elementos de ξ que no pertenecen a A. Por lo tanto, A'={2, 4, 5, 6}
Un conjunto con continuo de cardinalidad tiene las siguientes características:
- complemento de la cantidad universal es el valor vacío en cuestión;
- esta variable de conjunto nulo es universal;
- cantidad y su complemento son disjuntos.
Por ejemplo:
- Sea el número de números naturales un conjunto universal y A sea par. Entonces A '{x: x es un conjunto impar con los mismos dígitos}.
- Sea ξ=conjunto de letras del alfabeto. A=conjunto de consonantes. Entonces A '=número de vocales.
- El complemento del conjunto universal es la cantidad vacía. Se puede denotar por ξ. Entonces ξ'=El conjunto de aquellos elementos que no están incluidos en ξ. El conjunto vacío φ se escribe y denota. Por lo tanto ξ=φ. Por tanto, el complemento del conjunto universal está vacío.
En matemáticas, "continuo" a veces se usa para representar una línea real. Y más generalmente, para describir objetos similares:
- continuum (en teoría de conjuntos) - línea real o número cardinal correspondiente;
- linear - cualquier conjunto ordenado que comparte ciertas propiedades de una línea real;
- continuo (en topología) - espacio métrico conectado compacto no vacío (a veces Hausdorff);
- la hipótesis de que ningún conjunto infinito es mayor que los números enteros pero menor que los números reales;
- la potencia del continuo es un número cardinal que representa el tamaño del conjunto de números reales.
Esencialmente, un continuo (medida), teorías o modelos que explican las transiciones graduales de un estado a otro sin ningún cambio abrupto.
Problemas de unión e intersección
Se sabe que la intersección de dos o más conjuntos es el número que contiene todos los elementos que son comunes en estos valores. Las tareas de Word en conjuntos se resuelven para obtener ideas básicas sobre cómo usar las propiedades de unión e intersección de los conjuntos. Resolvió los principales problemas de palabras enlos conjuntos se ven así:
Sean A y B dos conjuntos finitos. Son tales que n (A)=20, n (B)=28 y n (A ∪ B)=36, encuentre n (A ∩ B)
Relación en conjuntos usando el diagrama de Venn:
- La unión de dos conjuntos se puede representar mediante un área sombreada que representa A ∪ B. A ∪ B cuando A y B son conjuntos disjuntos.
- La intersección de dos conjuntos se puede representar mediante un diagrama de Venn. Con área sombreada que representa A ∩ B.
- La diferencia entre los dos conjuntos se puede representar mediante diagramas de Venn. Con un área sombreada que representa A - B.
- Relación entre tres conjuntos usando un diagrama de Venn. Si ξ representa una cantidad universal, entonces A, B, C son tres subconjuntos. Aquí los tres conjuntos se superponen.
Resumen de la información del conjunto
La cardinalidad de un conjunto se define como el número total de elementos individuales en el conjunto. Y el último valor especificado se describe como el número de todos los subconjuntos. Al estudiar tales problemas, se requieren métodos, métodos y soluciones. Entonces, para la cardinalidad de un conjunto, los siguientes ejemplos pueden servir como:
Sea A={0, 1, 2, 3}| |=4, donde | un | representa la cardinalidad del conjunto A.
Ahora puedes encontrar tu paquete de energía. Es bastante simple también. Como ya se dijo, el conjunto potencia se establece a partir de todos los subconjuntos de un número dado. Entonces uno debería básicamente definir todas las variables, elementos y otros valores de A,que son {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Ahora calcula P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} que tiene 16 elementos. Por lo tanto, la cardinalidad del conjunto A=16. Obviamente, este es un método tedioso y engorroso para resolver este problema. Sin embargo, existe una fórmula sencilla mediante la cual, directamente, se puede conocer el número de elementos en el conjunto potencia de un número dado. | pag |=2 ^ N, donde N es el número de elementos en algún A. Esta fórmula se puede obtener usando combinatoria simple. Entonces la pregunta es 2^11 ya que el número de elementos en el conjunto A es 11.
Entonces, un conjunto es cualquier cantidad expresada numéricamente, que puede ser cualquier objeto posible. Por ejemplo, coches, personas, números. En un sentido matemático, este concepto es más amplio y generalizado. Si en las etapas iniciales se resuelven los números y las opciones para su solución, en las etapas media y superior las condiciones y tareas se complican. De hecho, la cardinalidad de la unión de un conjunto está determinada por la pertenencia del objeto a cualquier grupo. Es decir, un elemento pertenece a una clase, pero tiene una o más variables.
