La física y las matemáticas no pueden prescindir del concepto de "cantidad vectorial". Debe ser conocido y reconocido, así como poder operar con él. Definitivamente deberías aprender esto para no confundirte y no cometer errores estúpidos.
¿Cómo distinguir un valor escalar de una cantidad vectorial?
El primero siempre tiene una sola característica. Este es su valor numérico. La mayoría de los escalares pueden tomar valores tanto positivos como negativos. Algunos ejemplos son la carga eléctrica, el trabajo o la temperatura. Pero hay escalares que no pueden ser negativos, como la longitud y la masa.
Una cantidad vectorial, además de una cantidad numérica, que siempre se toma en módulo, también se caracteriza por una dirección. Por lo tanto, se puede representar gráficamente, es decir, en forma de flecha, cuya longitud es igual al módulo del valor dirigido en una dirección determinada.
Al escribir, cada cantidad vectorial se indica con un signo de flecha en la letra. Si estamos hablando de un valor numérico entonces la flecha no se escribe o se toma módulo.
¿Cuáles son las acciones más comunes con vectores?
Primero, una comparación. Pueden o no ser iguales. En el primer caso, sus módulos son los mismos. Pero esta no es la única condición. También deben tener direcciones iguales u opuestas. En el primer caso, deberían llamarse vectores iguales. En el segundo, son opuestos. Si al menos una de las condiciones especificadas no se cumple, entonces los vectores no son iguales.
Luego viene la suma. Se puede hacer según dos reglas: un triángulo o un paralelogramo. Primero prescribe posponer primero un vector, luego de su fin el segundo. El resultado de la suma será el que hay que dibujar desde el principio de la primera hasta el final de la segunda.
La regla del paralelogramo se puede usar cuando necesitas sumar cantidades vectoriales en física. A diferencia de la primera regla, aquí deben posponerse desde un punto. Luego constrúyalos en un paralelogramo. El resultado de la acción debe considerarse la diagonal del paralelogramo trazado desde el mismo punto.
Si una cantidad vectorial se resta de otra, entonces se trazan nuevamente desde un punto. Solo el resultado será un vector que coincida con el que va desde el final del segundo hasta el final del primero.
¿Qué vectores se estudian en física?
Hay tantos como escalares. Simplemente puede recordar qué cantidades vectoriales existen en física. O conocer los signos por los que se pueden calcular. Para aquellos que prefieren la primera opción, esta tabla será útil. Contiene las principales magnitudes físicas vectoriales.
| Designación en la fórmula | Nombre |
| v | velocidad |
| r | mover |
| un | aceleración |
| F | fuerza |
| r | impulso |
| E | fuerza del campo eléctrico |
| B | inducción magnética |
| M | momento de fuerza |
Ahora un poco más sobre algunas de estas cantidades.
El primer valor es la velocidad
Vale la pena empezar a dar ejemplos de cantidades vectoriales a partir de él. Esto se debe a que se estudia entre los primeros.
La velocidad se define como una característica del movimiento de un cuerpo en el espacio. Especifica un valor numérico y una dirección. Por lo tanto, la velocidad es una cantidad vectorial. Además, es costumbre dividirlo en tipos. La primera es la velocidad lineal. Se introduce al considerar el movimiento uniforme rectilíneo. Al mismo tiempo, resulta ser igual a la relación entre el camino recorrido por el cuerpo y el tiempo de movimiento.
Se puede usar la misma fórmula para movimientos irregulares. Solo entonces será promedio. Además, el intervalo de tiempo a elegir debe ser necesariamente lo más corto posible. Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, el valor de la velocidad ya es instantáneo.
Si se considera un movimiento arbitrario, aquí la velocidad es siempre una cantidad vectorial. Después de todo, tiene que descomponerse en componentes dirigidos a lo largo de cada vector que dirige las líneas de coordenadas. Además, se define como la derivada del radio vector, con respecto al tiempo.
El segundo valor es la fuerza
Determina la medida de la intensidad del impacto que se ejerce sobre el cuerpo por otros cuerpos o campos. Dado que la fuerza es una cantidad vectorial, necesariamente tiene su propio valor de módulo y dirección. Como actúa sobre el cuerpo, también es importante el punto en el que se aplica la fuerza. Para tener una idea visual de los vectores de fuerza, puede consultar la siguiente tabla.
| Poder | Punto de aplicación | Dirección |
| gravedad | centro del cuerpo | al centro de la Tierra |
| gravedad | centro del cuerpo | al centro de otro cuerpo |
| elasticidad | punto de contacto entre cuerpos que interactúan | contra influencias externas |
| fricción | entre superficies en contacto | en sentido contrario al movimiento |
Además, la fuerza resultante también es una cantidad vectorial. Se define como la suma de todas las fuerzas mecánicas que actúan sobre el cuerpo. Para determinarlo, es necesario realizar una suma según el principio de la regla del triángulo. Solo necesita posponer los vectores a su vez desde el final del anterior. El resultado será el que conecte el principio del primero con el final del último.
Tercer valor - desplazamiento
Durante el movimiento, el cuerpo describe una determinada línea. Se llama trayectoria. Esta línea puede ser completamente diferente. Más importante no es su apariencia, sino los puntos de inicio y fin del movimiento. se conectansegmento, que se llama desplazamiento. Esta es también una cantidad vectorial. Además, siempre se dirige desde el comienzo del movimiento hasta el punto donde se detuvo el movimiento. Es costumbre designarlo con la letra latina r.
Aquí puede aparecer la pregunta: "¿La ruta es una cantidad vectorial?". En general, esta afirmación no es cierta. El camino es igual a la longitud de la trayectoria y no tiene dirección definida. Una excepción es la situación cuando se considera el movimiento rectilíneo en una dirección. Entonces el módulo del vector de desplazamiento coincide en valor con la trayectoria, y su dirección resulta ser la misma. Por lo tanto, al considerar el movimiento a lo largo de una línea recta sin cambiar la dirección del movimiento, la trayectoria puede incluirse en los ejemplos de cantidades vectoriales.
El cuarto valor es la aceleración
Es una característica de la tasa de cambio de velocidad. Además, la aceleración puede tener valores tanto positivos como negativos. En el movimiento rectilíneo, se dirige en la dirección de mayor velocidad. Si el movimiento ocurre a lo largo de una trayectoria curvilínea, entonces su vector de aceleración se descompone en dos componentes, uno de los cuales está dirigido hacia el centro de curvatura a lo largo del radio.
Separar el valor medio e instantáneo de la aceleración. El primero debe calcularse como la relación entre el cambio de velocidad durante un cierto período de tiempo y este tiempo. Cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero, se habla de aceleración instantánea.
La quinta magnitud es el impulso
Es diferentetambién llamado impulso. El momento es una cantidad vectorial debido a que está directamente relacionado con la velocidad y la fuerza aplicada al cuerpo. Ambos tienen una dirección y se la dan al impulso.
Por definición, este último es igual al producto de la masa corporal por la velocidad. Utilizando el concepto de la cantidad de movimiento de un cuerpo, se puede escribir la conocida ley de Newton de otra forma. Resulta que el cambio de cantidad de movimiento es igual al producto de la fuerza por el tiempo.
En física, la ley de conservación de la cantidad de movimiento juega un papel importante, que establece que en un sistema cerrado de cuerpos su cantidad de movimiento total es constante.
Hemos enumerado muy brevemente qué cantidades (vectores) se estudian en el curso de física.
Problema de impacto inelástico
Condición. Hay una plataforma fija en los rieles. Un automóvil se acerca a él con una velocidad de 4 m/s. Las masas de la plataforma y del vagón son de 10 y 40 toneladas, respectivamente. El coche golpea la plataforma, se produce un enganche automático. Es necesario calcular la velocidad del sistema vagón-plataforma tras el impacto.
Decisión. Primero, debe ingresar la notación: la velocidad del automóvil antes del impacto - v1, el automóvil con la plataforma después del acoplamiento - v, el peso del automóvil m 1, la plataforma - m 2. Según la condición del problema, es necesario averiguar el valor de la velocidad v.
Las reglas para resolver tales tareas requieren una representación esquemática del sistema antes y después de la interacción. Es razonable dirigir el eje OX a lo largo de los rieles en la dirección en que se mueve el automóvil.
Bajo estas condiciones, el sistema de vagones puede considerarse cerrado. Esto está determinado por el hecho de queLas fuerzas pueden despreciarse. La fuerza de gravedad y la reacción del soporte están equilibradas y no se tiene en cuenta el rozamiento sobre los raíles.
Según la ley de conservación de la cantidad de movimiento, su suma vectorial antes de la interacción del automóvil y la plataforma es igual al total del acoplador después del impacto. Al principio, la plataforma no se movió, por lo que su impulso fue cero. Solo se movió el automóvil, su impulso es el producto de m1 y v1.
Dado que el impacto fue inelástico, es decir, el vagón forcejeó con la plataforma y luego comenzó a rodar en la misma dirección, el impulso del sistema no cambió de dirección. Pero su significado ha cambiado. Es decir, el producto de la suma de la masa del vagón con la plataforma y la velocidad requerida.
Puedes escribir esta igualdad: m1v1=(m1 + m2) v. Será cierto para la proyección de vectores de momento en el eje seleccionado. De ahí es fácil derivar la igualdad que se requerirá para calcular la velocidad requerida: v=m1v1 / (m 1 + m2).
Según las reglas, debes convertir los valores de masa de toneladas a kilogramos. Por lo tanto, al sustituirlos en la fórmula, primero debe multiplicar los valores conocidos por mil. Cálculos simples dan el número 0,75 m/s.
Respuesta. La velocidad del vagón con la plataforma es de 0,75 m/s.
Problema al dividir el cuerpo en partes
Condición. La velocidad de una granada voladora es de 20 m/s. Se rompe en dos pedazos. La masa del primero es de 1,8 kg. Continúa moviéndose en la dirección en la que volaba la granada a una velocidad de 50 m/s. El segundo fragmento tiene una masa de 1,2 kg.¿Cuál es su velocidad?
Decisión. Denote las masas de los fragmentos con las letras m1 y m2. Sus velocidades serán respectivamente v1 y v2. La velocidad inicial de la granada es v. En el problema, necesitas calcular el valor v2.
Para que el fragmento más grande siga moviéndose en la misma dirección que toda la granada, el segundo debe volar en la dirección opuesta. Si elegimos la dirección del eje como la del impulso inicial, luego de la ruptura, un fragmento grande vuela a lo largo del eje y un fragmento pequeño vuela contra el eje.
En este problema, se permite usar la ley de conservación de la cantidad de movimiento debido a que la explosión de una granada ocurre instantáneamente. Por lo tanto, a pesar de que la gravedad actúa sobre la granada y sus partes, no tiene tiempo de actuar y cambiar la dirección del vector de impulso con su valor de módulo.
La suma de los valores vectoriales del impulso después del estallido de la granada es igual al anterior. Si escribimos la ley de conservación de la cantidad de movimiento del cuerpo en proyección sobre el eje OX, entonces se verá así: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. Es fácil expresar la velocidad deseada a partir de él. Se determina mediante la fórmula: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. Después de la sustitución de valores numéricos y cálculos, se obtienen 25 m/s.
Respuesta. La velocidad de un fragmento pequeño es de 25 m/s.
Problema al disparar en ángulo
Condición. Una herramienta está montada sobre una plataforma de masa M. Se dispara un proyectil de masa m. sale volando formando un ángulo α conhorizonte con una velocidad v (dada relativa al suelo). Se requiere averiguar el valor de la velocidad de la plataforma después del disparo.
Decisión. En este problema, puede usar la ley de conservación de la cantidad de movimiento en proyección sobre el eje OX. Pero sólo en el caso de que la proyección de las fuerzas resultantes externas sea igual a cero.
Para la dirección del eje OX, debe elegir el lado donde volará el proyectil y paralelo a la línea horizontal. En este caso, las proyecciones de las fuerzas de gravedad y la reacción del soporte sobre OX serán iguales a cero.
El problema se resolverá de forma general, ya que no existen datos específicos para cantidades conocidas. La respuesta es la fórmula.
La cantidad de movimiento del sistema antes del disparo era igual a cero, ya que la plataforma y el proyectil estaban estacionarios. Denote la velocidad deseada de la plataforma con la letra latina u. Luego, su cantidad de movimiento después del disparo se determina como el producto de la masa y la proyección de la velocidad. Dado que la plataforma retrocede (en contra de la dirección del eje OX), el valor del impulso será negativo.
La cantidad de movimiento de un proyectil es el producto de su masa y la proyección de su velocidad sobre el eje OX. Debido al hecho de que la velocidad está dirigida en un ángulo con el horizonte, su proyección es igual a la velocidad multiplicada por el coseno del ángulo. En igualdad literal, se verá así: 0=- Mu + mvcos α. De ella, por simples transformaciones, se obtiene la fórmula de respuesta: u=(mvcos α) / M.
Respuesta. La velocidad de la plataforma está determinada por la fórmula u=(mvcos α) / M.
Problema de cruce de río
Condición. El ancho del río en toda su longitud es el mismo e igual a l, sus orillasson paralelos. Conocemos la velocidad del flujo de agua en el río v1 y la velocidad propia del barco v2. uno). Al cruzar, la proa del barco se dirige estrictamente a la orilla opuesta. ¿Qué tan lejos s será llevado río abajo? 2). ¿A qué ángulo α se debe dirigir la proa del bote para que llegue a la orilla opuesta estrictamente perpendicular al punto de partida? ¿Cuánto tiempo tardaría en hacer ese cruce?
Decisión. uno). La velocidad máxima del bote es la suma vectorial de las dos cantidades. El primero de ellos es el curso del río, que se dirige a lo largo de las orillas. El segundo es la propia velocidad del barco, perpendicular a las orillas. El dibujo muestra dos triángulos semejantes. El primero está formado por el ancho del río y la distancia que lleva el bote. El segundo - con vectores de velocidad.
De ellos se deriva la siguiente entrada: s / l=v1 / v2. Después de la transformación, se obtiene la fórmula para el valor deseado: s=l(v1 / v2).
2). En esta versión del problema, el vector de velocidad total es perpendicular a los bancos. Es igual a la suma vectorial de v1 y v2. El seno del ángulo en el que debe desviarse el propio vector de velocidad es igual a la relación de los módulos v1 y v2. Para calcular el tiempo de viaje, deberá dividir el ancho del río por la velocidad total calculada. El valor de este último se calcula mediante el teorema de Pitágoras.
v=√(v22 – v1 2), entonces t=l / (√(v22 – v1 2)).
Respuesta. uno). s=l(v1 / v2), 2). sen α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
