Este artículo explicará la fórmula de Black-Scholes en términos simples. El modelo de Black-Scholes es un modelo matemático de la dinámica de un mercado financiero que contiene instrumentos de inversión derivados.
De la ecuación diferencial parcial del modelo (conocida como ecuación de Black-Scholes), se puede derivar la fórmula de Black-Scholes. Proporciona un precio de opción de estilo europeo teórico y muestra que la opción tiene un precio único independientemente del riesgo del valor y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado del valor con una tasa neutral al riesgo).
La fórmula condujo a un auge en el comercio de opciones y otorgó legitimidad matemática al Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones de todo el mundo. Es ampliamente utilizado, aunque a menudo con ajustes y correcciones, por los participantes del mercado de opciones. En las imágenes de este artículo puedes ver ejemplos de la fórmula de Black-Scholes.
Historia y esencia
Basado en trabajos desarrollados previamente por investigadores y profesionalesmercados como Louis Bachelier, Sheen Kassouf y Ed Thorpe, Fisher Black y Myron Scholes a fines de la década de 1960 demostraron que la revisión dinámica de la cartera eliminó el rendimiento esperado de la seguridad.
En 1970, después de intentar aplicar la fórmula a los mercados y sufrir pérdidas financieras debido a la f alta de gestión de riesgos en sus profesiones, decidieron enfocarse en su campo, la academia. Después de tres años de esfuerzo, la fórmula, que recibió el nombre de su promulgación, finalmente se publicó en 1973 en un artículo titulado "Precio de opciones y bonos corporativos" en el Journal of Political Economy. Robert S. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término "modelo de valoración de Black-Scholes".
Por su trabajo, Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Economía de 1997, citando su descubrimiento de la revisión dinámica independiente del riesgo como un avance que separa la opción del riesgo de seguridad subyacente. Aunque no recibió el premio debido a su muerte en 1995, Black fue mencionado por un académico sueco como participante. En la siguiente imagen puede ver una fórmula típica de Black-Scholes.
Opciones
La idea principal de este modelo es cubrir una opción comprando y vendiendo adecuadamente el activo subyacente y, como resultado, eliminando el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina "cobertura delta constantemente actualizada". Éles la base para estrategias más complejas, como las que utilizan los bancos de inversión y los fondos de cobertura.
Gestión de riesgos
Los supuestos del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, lo que ha dado como resultado una variedad de modelos que se utilizan actualmente en la fijación de precios de derivados y la gestión de riesgos. Es la comprensión del modelo, como se muestra en la fórmula de Black-Scholes, lo que suelen utilizar los participantes del mercado, en contraste con los precios reales. Estos detalles no incluyen límites de arbitraje y precios neutrales al riesgo (debido a una revisión constante). Además, la ecuación de Black-Scholes, la ecuación diferencial parcial que determina el precio de una opción, permite determinar los precios numéricamente cuando no es posible una fórmula explícita.
Volatilidad
La fórmula de Black-Scholes tiene un único parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque se puede encontrar en el precio de otras opciones. A medida que el valor de un parámetro (ya sea de venta o de compra) aumenta en ese parámetro, se puede invertir para producir una "superficie de volatilidad" que luego se utiliza para calibrar otros patrones, como los derivados OTC.
Con estas suposiciones en mente, suponga que este mercado también negocia derivados. Indicamos que este valor tendrá un payout determinado en una fecha determinada en el futuro, dependiendo del valor que asuma la acción.antes de esta fecha. Sorprendentemente, el precio del derivado ahora está completamente determinado, aunque no sabemos qué camino tomará el precio de las acciones en el futuro.
Para un caso especial de una opción europea de compra o venta, Black y Scholes demostraron que era posible crear una posición cubierta consistente en una posición larga en una acción y una posición corta en una opción, cuyo valor no dependería del precio de la acción. Su estrategia de cobertura dinámica dio como resultado una ecuación diferencial parcial que determinaba el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.
Diferencia de términos
La fórmula de Black-Scholes para Excel se puede interpretar dividiendo primero la opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias. Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una opción de compra con o sin un activo simplemente genera un activo (sin efectivo a cambio) y una opción de compra sin efectivo simplemente devuelve el dinero (sin intercambio de activos). La fórmula de Black-Scholes para una opción es la diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales al valor de las opciones binarias de compra. Estas opciones binarias se negocian con mucha menos frecuencia que las opciones estándar, pero son más fáciles de analizar.
En la práctica, algunos valores de sensibilidad suelen abreviarse para ajustarse a la escala de posibles cambios de parámetros. Por ejemplo, a menudo se reportan rho dividido por 10000 (cambio por 1 punto base), vega por 100 (cambio por 1 punto de volumen) y theta por 365.o 252 (retiro de 1 día basado en días calendario o días de negociación por año).
El modelo anterior se puede ampliar para tasas variables (pero deterministas) y volatilidad. El modelo también se puede utilizar para valorar opciones europeas para instrumentos de pago de dividendos. En este caso, las soluciones de forma cerrada están disponibles si el dividendo es una proporción conocida del precio de la acción. Las opciones americanas y sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (más realista que un dividendo proporcional a corto plazo) son más difíciles de valorar y hay disponible una selección de métodos de solución (por ejemplo, celosías y cuadrículas).
Enfoque
Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo a menudo ayudan a establecer la cobertura en las proporciones adecuadas para minimizar el riesgo. Incluso si los resultados no son del todo exactos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden hacer ajustes.
Básico para mejores modelos: El modelo Black-Scholes es sólido en el sentido de que puede ajustarse para hacer frente a algunas de sus fallas. En lugar de tratar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, los tratamos como variables y, por lo tanto, agregamos fuentes de riesgo.
Esto se refleja en las griegas (cambiando el valor de la opción para cambiar estos parámetros o equivalente a las derivadas parciales con respecto a estas variables) y cubriendo estas griegasreduce el riesgo causado por la naturaleza variable de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden eliminarse cambiando el modelo, en particular el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y en su lugar se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y realizando pruebas de estrés.
Modelado explícito
Modelado explícito: esta característica significa que en lugar de asumir la volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, puede usar un modelo para determinar la volatilidad que proporciona la volatilidad implícita de la opción a precios, momentos y precios de ejercicio determinados. Al resolver la volatilidad sobre un conjunto determinado de precios y duraciones de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita.
En esta aplicación del modelo Black-Scholes se obtiene una transformación de coordenadas del área de precios al área de volatilidad. En lugar de cotizar los precios de las opciones en dólares por unidad (que son difíciles de comparar en función de los precios de ejercicio, la duración y la frecuencia de los cupones), los precios de las opciones se pueden cotizar en términos de volatilidad implícita, lo que lleva a la negociación de la volatilidad en los mercados de opciones.
