Para que al lector le resulte más fácil imaginar qué es un hiperboloide, un objeto tridimensional, primero debe considerar la hipérbola curva del mismo nombre, que encaja en un espacio bidimensional.
Una hipérbola tiene dos ejes: el real, que en esta figura coincide con el eje de abscisas, y el imaginario, con el eje y. Si comienza mentalmente a girar la ecuación de una hipérbola alrededor de su eje imaginario, entonces la superficie "vista" por la curva será un hiperboloide de una sola hoja.
Sin embargo, si comenzamos a rotar la hipérbola alrededor de su eje real de esta manera, entonces cada una de las dos "mitades" de la curva formará su propia superficie separada, y juntas se llamarán dos- hiperboloide laminado.
Obtenidos al girar la curva plana correspondiente, se denominan respectivamente hiperboloides de rotación. Tienen parámetros en todas las direcciones perpendiculares al eje de rotación,perteneciente a la curva rotada. En general, este no es el caso.
Ecuación hiperboloide
En general, una superficie se puede definir mediante las siguientes ecuaciones en coordenadas cartesianas (x, y, z):
En el caso de un hiperboloide de revolución, su simetría con respecto al eje alrededor del cual gira se expresa en la igualdad de los coeficientes a=b.
Características hiperboloides
Tiene un truco. Sabemos que las curvas en un plano tienen focos - en el caso de una hipérbola, por ejemplo, el módulo de la diferencia de distancias desde un punto arbitrario en una hipérbola a un foco y el segundo es constante por definición, de hecho, de foco puntos.
Al pasar al espacio tridimensional, la definición prácticamente no cambia: los focos son de nuevo dos puntos, y la diferencia de distancias desde ellos hasta un punto arbitrario perteneciente a la superficie hiperboloide es constante. Como puede ver, solo apareció la tercera coordenada de los cambios para todos los puntos posibles, porque ahora están establecidos en el espacio. En términos generales, definir un foco es equivalente a identificar el tipo de curva o superficie: al hablar sobre cómo se ubican los puntos de la superficie en relación con los focos, en realidad respondemos a la pregunta de qué es un hiperboloide y cómo se ve.
Vale la pena recordar que una hipérbola tiene asíntotas - líneas rectas, a las que sus ramas tienden al infinito. Si, al construir un hiperboloide de revolución, uno gira mentalmente las asíntotas junto con la hipérbola, además del hiperboloide, también obtendrá un cono llamado asintótico. El cono asintótico espara hiperboloides de una y dos hojas.
Otra característica importante que solo tiene un hiperboloide de una hoja son los generadores rectilíneos. Como su nombre lo indica, estas son líneas y se encuentran completamente en una superficie determinada. Dos generadores rectilíneos pasan por cada punto de un hiperboloide de una hoja. Pertenecen respectivamente a dos familias de líneas, que se describen mediante los siguientes sistemas de ecuaciones:
Así, un hiperboloide de una hoja puede estar enteramente compuesto por un número infinito de líneas rectas de dos familias, y cada línea de una de ellas se cortará con todas las líneas de la otra. Las superficies correspondientes a tales propiedades se denominan regladas; se pueden construir usando la rotación de una línea recta. La definición a través de la disposición mutua de líneas (generadores rectilíneos) en el espacio también puede servir como una designación inequívoca de lo que es un hiperboloide.
Propiedades interesantes de un hiperboloide
Las curvas de segundo orden y sus correspondientes superficies de revolución tienen propiedades ópticas interesantes asociadas con los focos. En el caso de un hiperboloide, esto se formula de la siguiente manera: si un rayo se dispara desde un foco, entonces, habiéndose reflejado desde la "pared" más cercana, tomará una dirección como si viniera del segundo foco.
Hiperboloides en la vida
Lo más probable es que la mayoría de los lectores se familiarizaran con la geometría analítica y las superficies de segundo orden a partir de una novela de ciencia ficción de Alexei Tolstoy"Ingeniero hiperboloide Garin". Sin embargo, el propio escritor no sabía bien qué era un hiperboloide o sacrificó la precisión en aras del arte: la invención descrita, en términos de características físicas, es más bien un paraboloide que recoge todos los rayos en un foco (mientras que el propiedades ópticas del hiperboloide están asociadas con la dispersión de los rayos).
Las llamadas estructuras hiperboloides son muy populares en arquitectura: son estructuras que tienen la forma de un hiperboloide de una sola hoja o un paraboloide hiperbólico. El hecho es que solo estas superficies de revolución de segundo orden tienen generadores rectilíneos: así, una estructura curva solo puede construirse a partir de vigas rectas. Las ventajas de tales estructuras están en la capacidad de soportar cargas pesadas, por ejemplo, del viento: la forma hiperboloide se usa en la construcción de estructuras altas, por ejemplo, torres de televisión.
