En matemáticas y procesamiento, el concepto de una señal analítica (para abreviar - C, AC) es una función compleja que no tiene componentes de frecuencia negativos. Las partes real e imaginaria de este fenómeno son funciones reales relacionadas entre sí por la transformada de Hilbert. Una señal analítica es un fenómeno bastante común en química, cuya esencia es similar a la definición matemática de este concepto.
Actuaciones
La representación analítica de una función real es una señal analítica que contiene la función original y su transformada de Hilbert. Esta representación facilita muchas manipulaciones matemáticas. La idea principal es que los componentes de frecuencia negativos de la transformada (o espectro) de Fourier de una función real son redundantes debido a la simetría hermitiana de dicho espectro. Estos componentes de frecuencia negativa se pueden descartar sinpérdida de información, siempre que desee tratar con una función compleja en su lugar. Esto hace que ciertos atributos de características sean más accesibles y facilita la derivación de técnicas de modulación y demodulación como SSB.
Componentes negativos
Siempre que la función que se manipula no tenga componentes de frecuencia negativa (es decir, sigue siendo analítica), la conversión de complejo a real es simplemente una cuestión de descartar la parte imaginaria. La representación analítica es una generalización del concepto de vector: mientras que un vector está limitado a una amplitud, fase y frecuencia invariantes en el tiempo, un análisis cualitativo de una señal analítica permite parámetros variables en el tiempo.
La amplitud instantánea, la fase instantánea y la frecuencia se utilizan en algunas aplicaciones para medir y detectar características locales de C. Otra aplicación de la representación analítica se relaciona con la demodulación de señales moduladas. Las coordenadas polares separan convenientemente los efectos de AM y la modulación de fase (o frecuencia) y demodulan efectivamente ciertos tipos.
Entonces, un simple filtro de paso bajo con coeficientes reales puede cortar la parte de interés. Otro motivo es reducir la frecuencia máxima, lo que reduce la frecuencia mínima para el muestreo sin alias. El cambio de frecuencia no socava la utilidad matemática de la representación. Por lo tanto, en este sentido, la conversión descendente sigue siendo analítica. Sin embargo, la restauración de la representación realya no es una simple cuestión de simplemente extraer el componente real. Es posible que se requiera una conversión ascendente y, si la señal se muestrea (tiempo discreto), también puede ser necesaria una interpolación (muestreo ascendente) para evitar el aliasing.
Variables
El concepto está bien definido para fenómenos de una sola variable, que generalmente son temporales. Esta temporalidad confunde a muchos matemáticos principiantes. Para dos o más variables, la analítica C se puede definir de diferentes maneras, y a continuación se presentan dos enfoques.
Las partes real e imaginaria de este fenómeno corresponden a dos elementos de una señal monogénica de valor vectorial, definida para fenómenos similares con una variable. Sin embargo, monogénico se puede extender a un número arbitrario de variables de una manera simple, creando una función vectorial (n + 1)-dimensional para el caso de señales de n variables.
Conversión de señal
Puede convertir una señal real en una señal analítica agregando un componente imaginario (Q), que es la transformada de Hilbert del componente real.
Por cierto, esto no es nuevo en su procesamiento digital. Una de las formas tradicionales de generar AM de banda lateral única (SSB), el método de fase, consiste en crear señales mediante la generación de una transformada de Hilbert de una señal de audio en una red analógica de resistencia y condensador. Dado que solo tiene frecuencias positivas, es fácil convertirlo en una señal de RF modulada con una sola banda lateral.
Fórmulas de definición
La expresión de señal analítica es una función compleja holomorfa definida en el límite del semiplano complejo superior. El límite del semiplano superior coincide con el aleatorio, por lo que C viene dado por la aplicación fa: R → C. Desde mediados del siglo pasado, cuando Denis Gabor propuso en 1946 utilizar este fenómeno para estudiar amplitud y fase constantes, la señal ha encontrado muchas aplicaciones. Se enfatizó la peculiaridad de este fenómeno [Vak96], donde se demostró que solo un análisis cualitativo de la señal analítica corresponde a las condiciones físicas de amplitud, fase y frecuencia.
Últimos logros
Durante las últimas décadas, ha habido un interés en el estudio de la señal en muchas dimensiones, motivado por los problemas que surgen en campos que van desde el procesamiento de imágenes/video hasta los procesos oscilatorios multidimensionales de la física, como sísmica, electromagnética y ondas gravitacionales. En general, se ha aceptado que, para generalizar correctamente la analítica C (análisis cualitativo) al caso de varias dimensiones, se debe confiar en una construcción algebraica que extienda los números complejos ordinarios de manera conveniente. Estas construcciones suelen denominarse números hipercomplejos [SKE].
Finalmente, debería ser posible construir una señal analítica hipercompleja fh: Rd → S, donde se representa algún sistema algebraico hipercomplejo general, que naturalmente extiende todas las propiedades requeridas para obtener una amplitud instantánea yfase.
Estudiar
Se dedica una serie de artículos a varios temas relacionados con la elección correcta del sistema numérico hipercomplejo, la definición de la transformada de Fourier hipercompleja y las transformadas fraccionarias de Hilbert para estudiar la amplitud y la fase instantáneas. La mayor parte de este trabajo se basó en las propiedades de varios espacios como Cd, cuaterniones, álgebras de Clearon y construcciones de Cayley-Dixon.
A continuación, enumeraremos sólo algunos de los trabajos dedicados al estudio de la señal en múltiples dimensiones. Hasta donde sabemos, los primeros trabajos sobre el método multivariado se obtuvieron a principios de la década de 1990. Estos incluyen el trabajo de Ell [Ell92] sobre transformaciones hipercomplejas; El trabajo de Bulow sobre la generalización del método de reacción analítica (señal analítica) a muchas medidas [BS01] y el trabajo de Felsberg y Sommer sobre señales monogénicas.
Otras perspectivas
Se espera que la señal hipercompleja amplíe todas las propiedades útiles que tenemos en el caso 1D. En primer lugar, debemos poder extraer y generalizar la amplitud y la fase instantáneas a las medidas. En segundo lugar, el espectro de Fourier de una señal analítica compleja se mantiene solo en frecuencias positivas, por lo que esperamos que la transformada de Fourier hipercompleja tenga su propio espectro hipervaluado, que solo se mantendrá en algún cuadrante positivo del espacio hipercomplejo. Porque es muy importante.
Tercero, partes conjugadas de un concepto complejode la señal analítica están relacionados con la transformada de Hilbert, y podemos esperar que los componentes conjugados en el espacio hipercomplejo también deban estar relacionados con alguna combinación de las transformadas de Hilbert. Y finalmente, de hecho, una señal hipercompleja debe definirse como una extensión de alguna función holomorfa hipercompleja de varias variables hipercomplejas definidas en el límite de alguna forma en un espacio hipercomplejo.
Estamos abordando estos problemas en orden secuencial. En primer lugar, comenzamos observando la fórmula de la integral de Fourier y mostramos que la transformada de Hilbert a 1-D está relacionada con la fórmula de la integral de Fourier modificada. Este hecho nos permite definir la amplitud, fase y frecuencia instantáneas sin ninguna referencia a sistemas numéricos hipercomplejos y funciones holomorfas.
Modificación de integrales
Seguimos extendiendo la fórmula de la integral de Fourier modificada a varias dimensiones y determinamos todos los componentes desfasados necesarios que podemos recopilar en amplitud y fase instantáneas. En segundo lugar, pasamos a la cuestión de la existencia de funciones holomorfas de varias variables hipercomplejas. Después de [Sch93] resulta que el álgebra hipercompleja conmutativa y asociativa generada por un conjunto de generadores elípticos (e2i=−1) es un espacio adecuado para que viva una señal analítica hipercompleja, llamamos a tal álgebra hipercompleja el espacio de Schaefers y denotamos esoSd.
Por lo tanto, el hipercomplejo de señales analíticas se define como una función holomorfa en el límite del polidisco/mitad superior del plano en algún espacio hipercomplejo, al que llamamos espacio general de Schaefers, y denotado por Sd. Luego observamos la validez de la fórmula integral de Cauchy para las funciones Sd → Sd, que se calculan sobre una hipersuperficie dentro de un polidisco en Sd y derivan las correspondientes transformadas fraccionarias de Hilbert que relacionan los componentes conjugados hipercomplejos. Finalmente, resulta que la transformada de Fourier con valores en el espacio de Schaefer solo se admite en frecuencias no negativas. Gracias a este artículo has aprendido qué es una señal analítica.
